Numerisk derivasjon (R)

Numerisk derivasjon (R)#

Den deriverte i et punkt \(x\) er gitt ved

\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]

En approksimasjon#

Hvis vi bare gjør \(\Delta x\) liten nok, kan vi få en grei verdi fra følgende approksimasjon

Approksimasjon: Derivert

Hvis \(\Delta x\) er liten nok kan vi finne en approksimasjon for den deriverte med formelen:

\[f'(x)\approx \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]

La oss finne den deriverte \(f'(1)\) for funksjonen \(f(x)=-x^2 + 4\)

def f(x):
    return -x**2 + 4

def df(x, dx):
    return (f(x + dx) - f(x))/dx

print(df(1, 1e-8)) # 1e-8 er det samme som 1*10**(-8) -> 0.00000001

-1.999999987845058

Hvis vi regner for hånd får vi \(f'(x)=-2x\) som gir \(f'(1)=-2\cdot 1=-2\).

Advarsel: Veldig små tall

Prøv gjerne å sette inn mindre og mindre verdier for dx. Da vil du se at approksimasjonen blir rar rundt dx = 1e-15. Årsaken for dette er at desimaltall er håndtert på en spesiell måte i datamaskinen, som gjør at deling med veldig små tall gir uventede resultater.

Det er veier rundt dette, men approksimasjonene våre er greie nok med \(\Delta x < 10^{-10}\) uansett.

En liten forbedring#

I definisjonen vår for den deriverte lager vi et punkt til høyre for punktet \(x\), finner den gjennomsnittlige vekstfarten mellom punktene, og så lenge \(\Delta x\) er liten nok, er dette en god approksimasjon for den deriverte.

Vi kan få en litt bedre approksimasjon ved å lage to punkter som er like langt fra punktet \(x\), et punkt foran og et punkt bak.

Approksimasjon: Sentraldifferanse

Hvis \(\Delta x\) er liten nok kan vi finne en approksimasjon for den deriverte med formelen:

\[f'(x)\approx \frac{f(x + \Delta x)-f(x - \Delta x)}{2\Delta x}\]
Hide code cell source 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(x):
    return -x**2 + 4

def df(x):
    return -2*x

x = np.linspace(0, 2, 100)
deriv0 = lambda x : df(1)*(x - 1) + 3
deriv1 = lambda x : ((f(1.5) - f(1))/(1.5 - 1))*(x - 1) + 3
deriv2 = lambda x : ((f(0.5) - f(1.5))/(0.5 - 1.5))*(x - 0.5) + f(0.5)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))

ax1.plot(x, f(x), color = "black")
ax1.scatter(1, 3, color = "black")
ax1.scatter(1.5, f(1.5), color = "black")
ax1.plot(x, deriv0(x), label="Derivert")
ax1.plot(x, deriv1(x), "--", label="Approksimasjon")
ax1.legend()
ax1.set_ylim(0, 5)
ax1.set_title("Fremoverdifferanse")

ax2.plot(x, f(x), color = "black")
ax2.plot(x, deriv0(x), label="Derivert")
ax2.plot(x, deriv2(x), "--", label="Approksimasjon")
ax2.set_ylim(0, 5)
ax2.scatter(1, 3, color = "black")
ax2.scatter(1.5, f(1.5), color = "black")
ax2.scatter(0.5, f(0.5), color = "black")
ax2.set_title("Sentraldifferanse")
ax2.legend()

plt.tight_layout()
../_images/6a252ec726599a42727fa48163d5ec5af64c3ee2c16fd44e51c134b118dcdf7f.png

Stigningstallet til den stiplede linjen er approksimasjonen for den deriverte, mens stigningstallet til den solide linjen er den eksakte deriverte. Vi kan derfor se at approksimasjonen ofte ofte blir bedre dersom vi ser utover i begge retninger.

Oppgaver#

Oppgave 1 ⛎

def f(x):
    return 3*x**3 + 3*x

def df(x, dx):
    return (f(x + dx) - f(x))/dx

print(df(1, 1e-8))

Hva gjør dette programmet? Hva vil det skrive ut? Svar først, så sjekk svaret ditt ved å kjøre koden.

Oppgave 2 ➗

def f(x):
    return (x+2)/(x-1)

def diff_f(x):
    dx = 0.01
    return ((f(x+dx)-f(x))/dx)

print(diff_f(3))

Svar på disse oppgavene uten å kjøre koden først.

  1. Hva blir skrevet ut av programmet? Hvis det skrives ut et tall, si omtrent hvilket tall.

  2. Kom med to forbedringer som kan gjøre svaret bedre.

Oppgave 3 ❓

def f(x):
    return 1/(x**2)

def df(x, dx):
    return (f(x+dx) - f(x-dx))/(2*dx)

print(df(1, 1e-8))
print(df(0, 1e-8))

Svar på disse oppgavene uten å kjøre koden først.

  1. Hva skrives ut av den første print-linjen? Hvis det skrives ut et tall, gi en omtrentlig verdi.

  2. Hva skrives ut av den andre print-linjen? Hvis det skrives ut et tall, gi en omtrentlig verdi.

Contents