Halveringstid

Halveringstid#

Halveringstid er tiden det tar før et mengden av et stoff har blitt redusert til halvparten av det opprinnelige.

La oss si at vi starter med \(100\,000\) atomkjerner av Karbon-14. Halveringstiden til Karbon-14 er omtrent 5700 år.

Tid

Antall atomer

Prosent

Halveringer

0 år

\(100 000\)

\(100\%\)

0 halveringer

5700 år

\(50 000\)

\(50\%\)

1 halvering

11400 år

\(25 000\)

\(25\%\)

2 halveringer

17100 år

\(12 500\)

\(12.5\%\)

3 halveringer

Aldersbestemmelse ⌛

Forholdet mellom mengden Karbon-12 og Karbon-14 er relativt konstant gjennom livet til levende organismer, fordi de hele tiden tilfører nytt Karbon-12 og Karbon-14.

Kroppen bryr seg ikke om hvilken type karbon den tar opp, fordi stoffene fungerer likt kjemisk.

Når en levende organisme dør, så vil mengden Karbon-14 avta på grunn av radioaktivitet, mens mengden Karbon-12 holde seg konstant. Dette kan vi bruke til å vite hvor gamle levninger av levende organismer er.

Formel: Antall kjerner#

Denne formelen lar oss regne ut mengden av et radioaktivt stoff ved tiden \(t\). \(N_0\) er mengden vi starter med og \(t_{1/2}\) er halveringstiden.

\[ N(t) = N_0\cdot 0.5^{\frac{t}{t_{1/2}}} \]

Eksempel: Hvor mange atomkjerner Karbon-14 har vi igjen etter \(2000\) år?

Halveringstiden til Karbon-14 er \(5730\) år. Hvis vi starter med \(100\,000\) atomkjerner, og ser på hvor mange vi har etter \(2000\) år kan vi regne det ut ved å bruke formelen i Python.

# Variabler
N_0 = 100000 # Startverdi
t_halv = 5700 # Halveringstid
t = 2000 # Tid

# Formel
N = N_0*0.5**(t/t_halv)

print(N)

Dette enkle programmet sier oss at det er igjen omtrent \(78\,411\) atomkjerner igjen etter \(2000\) år.

Husk å sørge for at halveringstiden og tiden har samme enhet! Her er begge enhetene i år, for eksempel.

Oppgave

Jeg kjøpte meg en vakker liten klump med Gull-194 til en billig penge.

Halveringstiden til Gull-194 er omtrent \(1.584\) dager.

  1. Hvor mange prosent av gullklumpen min mister jeg i løpet av en uke?

  2. Bruk programmet på siden Isotoper og henfall for å finne henfallstypen og hva gullet har blitt om til.

  3. Hvilken type stråling har jeg blitt utsatt for ved å ha denne klumpen i huset mitt?

Bruk gjerne periodesystemet (lenke) for å utforske andre isotoper når du er ferdig.

Løsningsforslag I

a) Jeg bruker formelen \(N=N_0 \cdot 0.5^{\frac{t}{t_{1/2}}}\)

N_0 = 100 # 100 prosent
t_halv = 1.583 # Halveringstiden i dager
t = 7 # Tiden i dager

print(N_0 * 0.5**(t/t_halv))

4.664985556509657

Jeg sitter altså igjen med litt under \(5\%\) av det jeg startet med.

Løsningsforslag II

Gull-194 henfaller på følgende måte med \(\beta^+\)-henfall.

\[^{194}_{79}\text{Au}\rightarrow ^{194}_{78}\text{Pt}\]

Det vil si at omtrent \(95\%\) av gullet mitt har blitt til platina. Ikke så verst! Denne isotopen er også stabil.

Løsningsforslag III

Jeg blir utsatt for gammastråling. Henfall med \(\beta^+\) sender ut positroner, men disse treffer som regel på elektroner nesten med en gang. Da annihileres positronet og elektronet og sender ut gammastråling. Avhengig av hvor stor denne klumpen var, så har jeg kanskje fått en ganske heftig stråledose.

Modell: Terningkast#

En radioaktiv atomkjerne har en viss sannsynlighet for å henfalle, men det er helt tilfeldig når den gjør det. For å modellere dette kan vi bruke terninger.

Terningkastforsøk 🎲

Ta \(20\) terninger. Til hvert tidssteg kaster du/dere terningene og fjerner alle med \(1\). Fyll ut en tabell som den under.

Tidssteg

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Terninger

20

Hver terning representerer en radioaktiv atomkjerne. Samlingen av mange terninger kan representere en klump med en radioaktiv isotop.

  • Hva blir halveringstiden omtrent for den radioaktive isotopen vi modellerer her?

Hvis flere gjør forsøket kan man summere opp alle kolonnene for å få et bedre datamateriale.

Andre isotoper 🎲

Hvis du har tilgang til andre terninger enn den vanlige D6-terningen kan du modellere hva det vil si å ha andre isotoper med andre halveringstider.

  1. Hvordan tror du halveringstiden blir for en D4, D8, D10, D12 eller D20 i forhold til en D6?

  2. Test hypotesen din.

Å kaste terninger er gøy, men man må kaste utrolig mange terninger for å få et godt tallmateriale. La oss heller gjøre dette forsøket i Python.

from random import randint

terninger = 20
for n in range(10):
    print(n, terninger) 

    # For hvert kast
    enere = 0 # Start med null enere
    
    for t in range(terninger):
        # For hver terning som er igjen
        if randint(1, 6) == 1: # Terningkast
            enere += 1
    
    terninger -= enere

0 20
1 15
2 15
3 12
4 11
5 8
6 5
7 3
8 2
9 2

Alternativ: Micro:bit

Vi kan også lage samme type simulering med Micro:bit. Kopier gjerne koden under.

from microbit import *
from random import randint

# Startverdi
N_0 = 20

# Setter opp terninger
terninger = N_0
while True:
    if button_a.was_pressed():
        # Viser antall terninger
        display.scroll(terninger)
        sleep(500)

    if button_b.was_pressed():
        # Simulerer henfall
        display.show(Image.ARROW_S)
        audio.play(Sound.HAPPY)
        enere = 0
        for t in range(terninger):
            if randint(1, 6) == 1:
                enere += 1
        terninger -= enere
        sleep(500)

    if pin_logo.is_touched():
        # Starter om simulasjonen
        display.show(Image.YES)
        audio.play(Sound.SLIDE)
        terninger = N_0
        sleep(500)

Alternativ: Micro:bit II

Her er en enda mer visuell versjon av simuleringen i Micro:bit. Denne er koden mest for å leke med, ikke for å forstå. Læreren din forstår den sikkert ikke! 🤣

from microbit import *
from random import randint

# Lager rader med piksler. "9" betyr full styrke
piksler = "99999:99999:99999:99999:99999"

while True:
    display.show(Image(piksler))
    if button_a.was_pressed():
        for n in range(len(piksler)):
            if piksler[n] == "9":
                if randint(1,6) == 1:
                    piksler = piksler[0:n] + "0" + piksler[n + 1:]

    if button_b.was_pressed():
        piksler = "99999:99999:99999:99999:99999"

Oppgave

Utforsk programmet over. Du kan for eksempel:

  • Gjøre at man starter med mange flere terninger.

  • Bytte på tallet i randint(1, 6) til noe annet, for eksempel randint(1, 20) for å simulere en isotop med en annen halveringstid.

Oppgave

Hvis man fjerner i gjennomsnitt \(\frac{1}{6}\) av terningene hvert tidssteg blir en teoretisk modell for antall terninger:

\[ \text{terninger} = N_0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n \]

Når \(N_0\) er antall terninger man starter med og \(n\) er hvert tidssteg. I eksempelet vårt blir det teoretiske antall terninger etter ett tidssteg lik \(20 \cdot (\frac{5}{6})^1\approx 16.67\).

Modifiser programmet over:

  1. Skriv også ut teoretisk antall for terningene etter hvert tidssteg. Hvordan skiller det «eksperimentelle» seg fra det teoretiske?

  2. Øk mengden terninger. Er skillet fortsatt like stort mellom teori og eksperiment?

Løsningsforslag I

from random import randint

N_0 = 20

terninger = N_0
for n in range(10):
    print(n, terninger, N_0 * (5/6)**n)

    # For hvert kast
    enere = 0 # Start med null enere
    
    for t in range(terninger):
        # For hver terning som er igjen
        if randint(1, 6) == 1: # Terningkast
            enere += 1
    
    terninger -= enere

Løsningsforslag II

from random import randint

N_0 = 1000

terninger = N_0
for n in range(10):
    print(n, terninger, N_0 * (5/6)**n)

    # For hvert kast
    enere = 0 # Start med null enere
    
    for t in range(terninger):
        # For hver terning som er igjen
        if randint(1, 6) == 1: # Terningkast
            enere += 1
    
    terninger -= enere

Vi ser at forskjellen mellom den teoretiske modellen og eksperimentet blir mye mindre (i prosent) når vi bruker flere terninger! I statistikk kaller vi dette for de store talls lov.

Contents